Les triangles : propriétés

Sommaire :

1. Sommes des angles
2. médiatrices et cercle circonscrit
3. droites particulières

1. Somme des angles d’un triangle

Somme des angles : Faire varier les points et additionner les mesures des angles pour deux ou trois triangles.

Que constate-on ?

Propriété : Dans tous les triangles, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.

Remarque : On démontrera cette propriété dans le chapitre sur les angles.

Application aux triangles particuliers :

- Dans un triangle équilatéral, les angles valent 60°.

- Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles non droits, valent 90°

- Dans un triangle isocèle, si on connaît un angle, on connaît les trois.

- Dans un triangle rectangle isocèle, les angles valent 45° et 90°.

Exemple : Calculer les angles à la base d’un triangle isocèle dont l’angle au sommet vaut 135°.

Exercices 27 à 36 p 200 65,66 p 204

1. Médiatrice et cercle circonscrit

a) Médiatrice d’un segment

Définition : La médiatrice d’un segment est une droite qui passe par le milieu d’un segment et qui lui est perpendiculaire.

Tracer un segment [AB] et sa médiatrice.

Remarque : Il existe deux façons de tracer une médiatrice

1. A la règle et au compas 2. A la règle graduée et à l’équerre

Propriétés : La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points équidistants aux extrémités du segment.

Si une droite passe par deux points situés à égale distance des extrémités d’un segment, alors cette droite est la médiatrice de ce segment.

b) Médiatrice d’un triangle

Définition : Une médiatrice d’un triangle est une droite qui est médiatrice d’un de ses côtés. Il y a donc trois médiatrices dans un triangle.

Figure :

19, 20 p 139

Démonstration concourante et équidistance par apport aux sommets.

Propriété : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes Le point de concours des médiatrices est centre du cercle circonscrit au triangle.

22, 23, 24 p 139

2. Droites particulières d’un triangle

Remarque : Les hauteurs (vu dans le chapitre précédent) et les médiatrices sont aussi des droites particulières du triangle.

a) Médiane

Définition : La médiane est une droite passant par le sommet d’un triangle et par le milieu du côté opposé

Comme pour les hauteurs, on dit médianes issue … de ou issue du sommet …

Figure :

36 p 140

b) Bissectrice

Définition : On appelle bissectrice d’un angle, la demi-droite qui partage cet angle n deux angles de même mesure.

Figure :

27, 28, 29 p 140

Exercices complémentaires (DM ?) 45, 46, 48.