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Opérations sur les nombres relatifs |
Sommaire :
2) Différence de deux nombres relatifs.
3) Simplification et calcul d’une expression.
4) Distance entre deux points.
a) Activité :
C’est aux VI et VII siècles que, chez les indiens, pour des raisons de comptabilité liées au commerce, les nombres relatifs sont utilisés. On retrouve dans les écrits de Bramahgupta (598-665) les premières règles de calculs avec les nombres positifs et négatifs.
Les quantités positives sont appelées « les biens » et les quantités négatives « les dettes »
b) Règles d’addition de deux nombres relatifs
i) Les deux nombres relatifs sont de même signe
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Règle 1 : Si
les deux nombres relatifs sont de même signe, on conserve ce signe et on
additionne leur partie numérique |
exemple : (+35) + (+15) = + 50 (-12) + (-4) = – 16
ii) Les deux nombres relatifs sont de signe opposé.
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Règle 2 : Si les deux nombres
relatifs sont de signe contraire : - On repère celui qui a la partie numérique la
plus grande et on conserve son signe - On soustrait à cette partie numérique la
partie numérique de l’autre. |
Exemple :
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Calculer (+35) + (-20) 35 > 20 donc le résultat est positif 35-20=15 donc le résultat est + 15 |
Calculer (– 25) + ( + 11) 25 > 11 donc le résultat est négatif 25 – 11 = 14 donc le résultat est – 14 |
Remarque : La somme de deux nombres opposés est égale à 0.
(+4) + (-4) = 0
Exercices 10, 11, 13 p 70 et 71
2)
Différence
de deux nombres relatifs :
Trouver le résultat d’une addition à trous, c’est effectuer une addition :
5 + ... = 12 donc ... = 12 – 5 = 7
Trouver le résultat mentalement puis faire le lien avec la soustraction :
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(+ 5) + ... = + 3 |
+ 3 – (+5) = ... |
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(–5) + ... = + 10 |
(+ 10) – (–5) = ... |
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(–3) + ... = –7 |
–7 – (–3) = ... |
Calculer +3 + (–5) ; (+10) + (+5) ; –7 + (+3). Conclure
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Règle 3 : Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute
son opposé |
Exemple :
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(+7) – (+4) =(+7) + (–4) = +3 |
(-10) – (+3) = (–10) + (–3) = –13 |
(-5) – (-2) = (–5) + (+2) = –3 |
Exercices 25, 27, 28 29 p 71
3)
Simplification
et calcul d’une expression.
a. Simplification d’écriture :
Pour simplifier l’écriture des opérations entre les nombres relatifs, on utilise le fait que le signe + ne doit être obligatoirement écrit : +5 = 5
Il y a 4 cas possibles :
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–5 + (+4) = –5 + 4 |
–5 – (+4)= –5 – 4 |
–5 – (–4) = – 5 + (+4) = – 5 + 4 |
–5 + (–4) = –5 – (+4) = –5 – 4 |
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Les ... remplaçant la partie numérique, on obtient comme
règles de simplification : Règle 4 : …) + (+…) = … + … …) – ( –…) = … + … …) –
(+…) = … - … …) +
(-…) = … - … |
Reprendre les exercices précédents et les faire
simplifier les écritures.
b.
Calculer avec une expression simplifiée
Quand on doit effectuer des calculs on utilise la règle d’additions.
5 – 7 est négatif et a pour partie numérique 7–5=2 donc 5 – 7 = –2.
–5 –5 est négatif et a pour partie numérique 5+5=10 donc –5–5=–10.
Si l’expression comporte plus que deux nombres, il est plus rapide de regrouper les positifs et les négatifs entre eux puis d’effectuer la dernière opération :
A = 5 –7 + 3 + 6 – 10 + 5 – 12
Positifs : 5+3+6+5=19 ; Négatifs –7–10–12=–29 donc
A = 19 – 29 = – 10.
exo 41, 42, 43, 48 p 72
4)
Distance
entre deux points.
Tracer une droite graduée d’unité le cm.
Placer sur cette droite les points suivants :
A(3,5) ; B(–4,5) ; C(5) ; D(–2)
Mesurer les distances suivantes AB ; BD ; AC.
Trouver un calcul sur les abscisses des points qui permet de calculer la distance entre deux points.
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Propriété : Soit deux points A(a) et B(b). Pour calculer la distance AB, on
calcule la différence entre les abscisses de A et de B en commençant par la
plus grande. |
Remarque :
▪ Dans l’exemple, il est possible de mesurer les distances à la règle car la droite graduée a pour unité le cm.
▪ Une distance est toujours positive.
Exemple : Sans faire de droite graduée, calculer les distances AB ; BC ; AC sachant que :
A (+4) ; B (– 3,2) ; C (–6,3).
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AB = 4 – (–3,2) = 4 + 3,2 = 7,2 |
BC = –3,2 – (–6,3) = –3,2 + 6,3 = 3,1 |
AC = 4 – (–6,3) = 10,3 |
Attention : Il ne faut écrire d’unité si elle n’est pas
donnée dans l’énoncé.
Exercices.