Démontrer en mathématiques :

Il faut bien distinguer deux choses :

- Faire une constatation à partir d’une figure ou à partir de calcul.

- Démontrer en utilisant une propriété.

En mathématiques, on demande presque toujours de démontrer les résultats. La figure ou les exemples sont là uniquement pour vous aider à faire cette démonstration.

Exemple :

Construire un triangle. Placer les milieux de 2 cotés. Tracer la droite reliant ces milieux.

Que constate-t-on ?

Ce résultat n’est pas démontré !

1. Règles de base :

(1) Un énoncé mathématique est soit vrai, soit faux.

(2) Des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas pour prouver qu’un énoncé est vrai.

(3) Un exemple qui ne vérifie pas un énoncé (appelé contre exemple) suffit pour prouver que l’énoncé est faux.

(4) Une constatation ou une mesure ne suffit pas à prouver qu’un énoncé de géométrie est vrai.

Exemple :

3×(x+5) = 3x + 15 ?

Si une fraction est simplifiable par deux alors son numérateur et son dénominateur se termine par 4.

4,5 p 169

2. Comment démontrer ?

En mathématiques, les mots :

Prouver ; démontrer ; montrer signifie la même chose.

1. Enoncé et réciproque :

En mathématique, on écrit souvent un énoncé (propriété, définition) mathématique en utilisant une phrase de la forme : « Si ...... alors ........ »

Comment fonctionne un énoncé de ce type :

Il se compose de deux parties, une partie condition et une partie conclusion :*

Si condition alors conséquence

Exemple :

Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont sécantes.

Définition :

La réciproque d’un énoncé de la forme « si ... alors .... » est l’énoncé que l’on obtient en inversant la condition et la conclusion

Exemple :

Si deux droites sont sécantes alors elles sont perpendiculaires (énoncé faux)

Un contre-exemple est un exemple qui vérifie la condition mais pas la conséquence.

7 à 13 p 169 + p172.

2. Ecrire une démonstration.

Pourquoi faut-il démontrer ? (présentation pps)

Une démonstration s’écrit en trois étapes :

- Etape 1 : Je sais ....(hypothéses)
Les hypothèses se trouvent dans l’énoncé de l’exercice, les codes d’une figure géométrique, les questions précédentes.

- Etape 2 :
On utilise une propriété ou une définition.

- Etape 3 :
On conclut.

Je sais : condition

Propriété : Si condition

Alors conclusion

Donc : conclusion

Exemple :

ABC triangle.

(d) hauteur issue de A.

(d’) médiatrice de [BC].

Démontrer que (d) // (d’)

Correction :

Je sais :

(d) perpendiculaire à (BC) car c’est la hauteur issue de A.

(d’) perpendiculaire à (BC) car c’est la médiatrice de [BC].

Propriété :

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles

Donc (d) est parallèle à (d’).

15, 16, 23, 22 p 169

56, 67 en DM.