Calcul littéral :
Sommaire :
Un calcul littéral est un calcul où intervient des lettres (représentant des nombres). Il sert par exemple à :
- écrire une formule (sciences physiques)
- trouver un nombre inconnu (résoudre une équation)
- prouver un résultat
- Ecrire un programme informatique (utilisation du tableur).
A titre d’information, voici un lien qui permet de calculer la pente pour l’évacuation des eaux usées : même en plomberie on peut faire des mathématiques déjà complexe !
Rappel : Simplification
d’écriture
Le symbole × de la multiplication peut être omis dans certains cas :
|
3×x = 3x |
a×b = ab |
|
3×(x+2) = 3(x+2) |
(x+2)×(2x+4) = (x+2)(2x+4) |
Les formules sont utiles lorsque l’on fait des calculs de façon répétitives. Si on veut utiliser une calculatrice, un ordinateur (un tableur), l’écriture d’une formule est indispensable pour réaliser une programmation. On les retrouve également dans toutes lois des sciences physiques.
Si dans un exercice on vous demande d’écrire un résultat « en fonction de x », on vous demande de trouver une expression (un calcul) où figure x.
Exemple :
Je souhaite prendre un taxi. A la montée, on paie une somme fixe de 5€. Ensuite, on paie 0,3 € par kilomètre.
Combien paie-t-on pour 5 km ? 10 km ? 20 km ? x km ?
Dans certains cas, on connaît la valeur de la variable (« la lettre ») et on peut alors calculer la valeur de l’expression littérale dans ce cas.
Exemple : Si on lâche un objet dans le vide (sur la terre), on peut connaître la hauteur à laquelle il a été lâché en mesurant sa vitesse (ceci est vrai si on néglige les frottements de l’air ; par exemple une bille en acier)
Formule :
En appliquant cette formule, on obtient le tableau suivant :
|
Chute libre d'un objet: |
||
|
hauteur (en m) |
vitesse (en m/s) |
vitesse en km/h |
|
0,39 |
2,78 |
10 |
|
3,54 |
8,33 |
30 |
|
9,83 |
13,89 |
50 |
|
19,27 |
19,44 |
70 |
|
31,86 |
25,00 |
90 |
|
47,59 |
30,56 |
110 |
|
66,46 |
36,11 |
130 |
|
88,49 |
41,67 |
150 |
|
113,66 |
47,22 |
170 |
|
141,97 |
52,78 |
190 |
Activité :
Dans le rectangle suivant :
AE = a
EB = b
AC = k
Calculer de deux façons l’aire du
rectangle ABDC
- pour
a = 5 ; b = 3 et k = 4.
- Trouver
une formule dans le cas général.
|
Règles de distributivité : Quels que soient les nombres k, a
et b on a :
|
|
Définition : Passer d’une addition à une
multiplication, c’est factoriser une expression (de droite à gauche dans la
formule) Passer d’une multiplication à une
addition, c’est développer une expression (de gauche à droite dans la
formule) |
Selon le contexte, il peut être plus intéressant de calculer avec la forme factorisée ou avec la forme développée.
Applications :
-
Calcul mental :
23×21 = 23×(20 + 1) = 23×20 + 23×1 = 460 + 23 = 483.
23×19 = 23×(20–1) = 23×20 – 23×1 = 460 – 23 = 437.
- 3x + 4x = x ×(3+4) = 7x : on peut évidemment écrire directement 3x+4x = 7x.
-
Développer des expressions :
3×(x+5) = 3×x + 3×5 = 3x+15.
4.
Simplification d’une expression.
|
Définition : Deux expressions littérales sont
égales si elles donnent le même résultat, quelle que soit la valeur numérique
attribuée à la lettre. |
Exemple :
Quand on développe 3×(x+3)= 3x + 9, les deux expressions littérales sont égales. De la même façon, quand on écrit 3x+4x = 7x, on écrit en fait l’égalité de deux expressions
|
Pour tout nombre a on a : 1 × a = a 0 × a = 0 |
Pour simplifier une expression, on utilise la formule de la distributivité :
|
A = 3(x+3)+ 4(x-2) A = 3x + 9 + 4x – 8 A = 7x + 1 |
Je distribue Je regroupe les termes en x et les nombres |
|
On peut éventuellement vérifier sur un exemple (les deux expressions sont égales donc on peut remplacer par n’importe quel nombre la lettre x) : Pour x=2 : |
|
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A = 3 ( 2 + 3 ) + 4 ( 2 – 2 ) = 3 × 5 + 4 × 0 = 15 |
A = 7 ×2 + 1 = 14 +1 = 15 |
L’intérêt de simplifier une expression c’est d’avoir moins de calcul à faire quand on remplace la lettre par une valeur.
Application au calcul mental :
B = 4(x+6) + 6(x – 4)
Essayer de calculer l’expression
pour x = 142,45.
Développer et simplifier.
Trouver le résultat de tête !